【数理統計学入門】0. 数学的な準備【データサイエンス・機械学習】

0.1 総和と総乗

$$\sum_{j=1}^{n}A_j=A_1+\ldots+A_n$$

$$\prod_{j=1}^{n}A_j=A_1\times\ldots \times A_n$$

0.2 集合

\(A,B\)を集合とする. \(c \in A\cup B\) ならば\(c \in A\)または\(c \in B\), \(d \in A\cup B\) ならば\(d \in A\)かつ\(d \in B\). \(  A\cup B\)を\(A\)と\(B\)の和集合, \(  A\cap B\)を\(A\)と\(B\)の積集合という.

また全体集合を\(E\)とする.\((A,B\subset E)\)
この時\(A\)の補集合を\(A^c\)と表し, \(A\)に含まれない\(E\)の集合とする.

命題0.1
\(A_1, A_2, …\)を集合
(1)交換律
$$A_1\cup A_2=A_2\cup A_1,\ A_1\cap A_2=A_2\cap A_1$$

(2)結合律
$$(A_1\cup A_2)\cup A_3=A_1\cup (A_2\cup A_3)$$
$$(A_1\cap A_2)\cap A_3=A_1\cap (A_2\cap A_3)$$

(3)分配律
$$(A_1\cup A_2)\cap A_3=(A_1\cap A_3)\cup (A_2\cap A_3)$$
$$(A_1\cap A_2)\cup A_3=(A_1\cup A_3)\cap (A_2\cup A_3)$$

また,

$$\bigcup_{i=1}^{\infty}A_i=A_1\cup A_2\cup…\  \bigcap_{i=1}^{\infty}A_i=A_1\cap A_2\cap…$$

とすると,次が成立.

(4)ド・モルガンの法則
$$(\bigcup_{i=1}^{\infty}A_i)^c=\bigcap_{i=1}^{\infty}A_i^c, \  (\bigcap_{i=1}^{\infty}A_i)^c=\bigcup_{i=1}^{\infty}A_i^c$$

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