数学科に1年目に感じたこと5選【高校数学と大学数学の違い】

こんにちはたくまろです。今回は大学の数学科に入って1年目に感じたことを5つ紹介したいと思います。

「大学の数学科に入ろうか悩んでいる」

「高校と大学の数学の違いについて知りたい」

そんな皆様の疑問に少しでも答えれるような記事になっています。完全に主観なので大学によっては違うかもしれません。是非とも参考にしてください！ほかにも

【文系でもわかる！】数学研究が役に立つ理由教えます

などにも、数学研究について紹介しているので、数学者になりたいと思っている猛者はおすすめです！

直感が通じない

おそらく、大学に入って最初の1,2年は基本的なことを学ぶと思います。例えば、

「任意の実数\(K\)よりも大きい自然数\(n\)が存在する」

「閉区間\([a,b]\)上で連続な関数\(f(x)\)は最大値と最小値が存在する」

のような、当たり前のことをきちんと証明するのが数学科に入って感じでしょう。他の学部ではなんの役にも立たないので、やらないことが多いですが、このような基礎的なことが論理的に考える上で重要です。ある意味では、大学数学はここがスタートです。

イプシロン・デルタ論法で挫折する

恐らく、数学科に入って最初の1週間で数学を嫌いになる原因TOP３に入っているイプシロン・デルタ論法は、収束や発散の概念を数式としてちゃんと記述したものです。実物はこんな感じです。

「\(\forall \varepsilon>0, \exists \delta>0 \text { s. t. } \forall x \in \mathbb{R}[0<|x-a|<\delta \Rightarrow|f(x)-b|<\varepsilon]\)」

これは、ただ\(x\)を\(a\)に近づけると、\(f(x)\)は\(b\)になると言っています。これを見ると、吐き気や手先の震えが止まらなくなる人がいるほど、耐性がないと苦しくなってしまいます。

多分、意味を理解することはできるのですが、これを1年生の時に自力で証明するのが難しいですね。とはいっても、これが理解できないと2年生以降でえらいことになるので、嫌でも扱えるようになる必要があります。

重積分は修行

高校の時に、理系のみなさんはひたすら積分をやったと思います。大学になるとインテグラが増えます。つまり、積分を2回以上違う変数で行います。しかも、よく分からない関数も登場します。例えば、三角関数の逆関数などは積分した結果を覚えないと間違いなくテストで計算が間に合わないですね。テスト終わって答え合わせをしても、みんな答えが違ったりして阿鼻叫喚の嵐。

ただこの積分地獄は1年生で大体の人は解放されます。その後は

積分をそもそもしない分野のひと
PCにやらせるひと
そもそも積分できるかどうかを議論しているひと

とこのように別れます。多分、1と2は意味が分かると思います。例えば、\(\int\frac{1}{logx}dx\)や\(\int\frac{e^x}{x}dx\)などは簡単に積分できません。（Liouvilleの定理から正確には初等関数で表せない。）そして、3,4年生になれば、積分できる関数の方が珍しいということに気づくと思います。